2018-2019学年高中数学人教A版选修4-5学案:第一讲一3.三个正数的算术 几何平均不等式 Word版含解析
2018-2019学年高中数学人教A版选修4-5学案:第一讲一3.三个正数的算术 几何平均不等式 Word版含解析第3页

  即x=3时等号成立.即ymin=4.

  

  用平均不等式求最值的注意点

  (1)应用平均不等式,要注意三个条件,即"一正、二定、三相等"同时具备时,方可取得最值.其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性,获得定值需要一定的技巧,如配系数、拆项、分离常数、平方变形等. 

  (2)当不具备使用平均不等式的条件时,求函数的最值可考虑利用函数的单调性.

   若x>0,求函数y=4x2+的最小值.

  解:因为x>0,

  所以y=4x2+=4x2++

  ≥3 =3.

  当且仅当4x2=(x>0),

  即x=时,取"=",

  所以当x=时,

  y=4x2+(x>0)的最小值为3.

   应用三个正数的算术­几何平均不等式解决实际问题[学生用书P10]

   如图所示,在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.众所周知,灯挂得太高,桌子边缘处的亮度就小;挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学知道,桌子边缘一点处的灯光亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比,而和这一点到光源的距离r的平方成反比,即E=k.这里k是一个和灯光强度有关的常数,那么究竟应该怎样选择灯的高度h,才能使桌子边缘处最亮?

  

  【解】 因为r=,

  所以E=k·(0<θ<).

  所以E2=·sin2θ·cos4θ=·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤·=.

  当且仅当2sin2θ=cos2θ时取等号,

  所以h=2tan θ=时,E最大.

  

本题获解的关键是在获得了E=k·后,对E的表达式进行变形求得E的最