1.1.1 平均变化率问题

　　学习目标：1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)

　　[自 主 预 习·探 新 知]

　　1．函数的平均变化率

　　(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为Δx(Δy)＝x2－x1(f(x2)，其中Δx＝x2－x1是相对于x1的一个"增量"，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)是相对于f(x1)的一个"增量"．

　　(2)平均变化率的几何意义

　　设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率Δx(Δy)＝x2－x1(f(x2)＝Δx(f(x1＋Δx)为割线AB的斜率，如图111所示．

　　图111

　　思考：Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？

　　[提示] Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．平均变化率Δx(Δy)可正、可负、可为零．

　　2．瞬时速度与瞬时变化率

　　(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．

　　(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限即limΔx→0 Δx(Δy)＝limΔx→0 Δx(f(x0＋Δx).

　　3．导数的概念

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f′(x0)或y′| x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0 Δx(f(x0＋Δx).