知识点二　平面的法向量及其求法

在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：

(1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；

(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；

(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组

(4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量．

知识点三　用空间向量处理平行关系

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则

线线平行 l∥m⇔a∥b⇔a＝kb(k∈R) 线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0 面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv(k∈R) .

(1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(√)

(2)两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(×)

(3)若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(×)

(4)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(√)

(5)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则l1⊥l2.(√)

类型一　求平面的法向量

例1　已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量．

考点　直线的方向向量与平面的法向量

题点　求平面的法向量

解　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．

∵A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，

∴\s\up6(→(→)＝(－2,1,3)，\s\up6(→(→)＝(1，－1,0)．