第18课时　空间向量的正交分解及其坐标表示

　　 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题．

　　2．理解基底、基向量的概念．

　　3．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中正确写出向量的坐标．

　　　空间向量的基底

　　 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　)

　　A．1个　　 B．2个

　　C．3个 D．0个

　　解析：选B.因为x＝a＋b，

　　所以向量x，a，b共面．

　　如图，

　　令a＝\s\up6(→(→)，b＝\s\up6(→(→)，c＝\s\up6(→(→)，

　　则x＝\s\up6(→(→)，y＝\s\up6(→(→)，z＝\s\up6(→(→)，

　　a＋b＋c＝\s\up6(→(→).

　　可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B.

　　 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且\s\up6(→(→)＝e1＋2e2－e3，\s\up6(→(→)＝－3e1＋e2＋2e3，\s\up6(→(→)＝e1＋e2－e3，试判断{\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)}能否作为空间的一个基底．

　　解：假设\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得\s\up6(→(→)＝x \s\up6(→(→)＋y \s\up6(→(→)成立，即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)

　　＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.

　　因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，

　　所以e1，e2，e3不共面，

　　所以，此方程组无解．

　　即不存在实数x，y，使得\s\up6(→(→)＝x\s\up6(→(→)＋y\s\up6(→(→)成立，所以\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)不共面．

　　故{\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)}能作为空间的一个基底．

　　　空间向量基本定理

　　 四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设\s\up6(→(→)＝a，\s\up6(→(→)＝b，\s\up6(→(→)＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→).

解：连接BO，