含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．

　　2．(1)已知ε>0，|x－a|<ε，|y－b|<ε，

　　求证：|(x＋y)－(a＋b)|<2ε.

　　(2)设f(x)＝x2－x＋13，实数a满足|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．

　　证明：(1)|(x＋y)－(a＋b)|＝|(x－a)＋(y－b)|≤|x－a|＋|y－b|.①

　　∵|x－a|<ε，|y－b|<ε，

　　∴|x－a|＋|y－b|<ε＋ε＝2ε.②

　　由①②得：|(x＋y)－(a＋b)|<2ε.

　　(2)∵f(x)＝x2－x＋13，

　　∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a|

　　＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|.

　　又∵|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|

　　≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1

　　＝2(|a|＋1)，

　　∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1).

利用绝对值的三角不等式求最值 　　

　　[例3]　已知a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4.

　　求|a|＋|b|的最大值．

　　[思路点拨]　本题考查绝对值三角不等式的应用．解答本题可先求出|a＋b|，|a－b|的最值，再通过|a|＋|b|与它们相等时进行讨论求出最大值．

　　[精解详析]　|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|

　　≤|a＋b＋1|＋|－1|≤2，

　　|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|

　　≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5

　　≤3＋2×4＋5＝16.

　　①若ab≥0，则|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；

②若ab＜0，则|a|＋|b|＝|a－b|≤16.