教案表

课题

1．2．1排列

（第一课时） 课型 新授课 教学

目标 知识与技能 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会"化归"的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。

过程与方法 能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题

情感、态度与价值观 能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.

重点

难点 教学重点 排列、排列数的概念．

教学难点 排列数公式的推导 教具

准备 多媒体， 课时

安排 1 教学过程与教学内容 教学方法、教学手段与学法、学情

教学过程

一、复习引入 [ ]

1分类加法计数原理 做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，......，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法2.分步乘法计数原理 做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，......，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法

　　分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于 分类加法计数原理针对的是"分类"问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是"分步"问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事 应用两种原理解题 1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,"类"间互相独立，"步"间互相联系；3.有无特殊条件的限制

二、讲解新课

1问题

问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

　　分析 这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素

　　解决这一问题可分两个步骤 第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 3×2=6 种，如图 1.2一1 所示．

　　把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为 从3个不同的元素 a , b ，。中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,

　　共有 3×2=6 种．

　　问题2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

　　分析 解决这个问题分三个步骤 第一步先确定左边的数，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定右边的数，从余下的2个数中取，有2种方法

　　由分步计数原理共有 4×3×2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法

　　显然，从 4 个数字中，每次取出 3 个，按"百""十""个"位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤 解决这个问题

　　第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；

　　第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；

　　第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法．

　　根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按"百""十""个"位的顺序排成一列，共有

　　4×3×2=24

种不同的排法， 因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2一2 所示．

　　由此可写出所有的三位数

　　123，124, 132, 134, 142, 143， 213，214, 231, 234, 241, 243，

　　312，314, 321, 324, 341, 342， 412，413, 421, 423, 431, 432 。

　　同样，问题 2 可以归结为

　　从4个不同的元素a, b, c，d中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

　　所有不同排列是

　　abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,

　　cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.

　　共有4×3×2=24种.

树形图如下

　　　　 a b ｃ　　　　　ｄ

　　　ｂ　ｃ　ｄ　ａ　ｃ　ｄ　　ａ　ｂ　ｄ　　ａ　ｂ　ｃ

2．排列的概念

　　从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列

说明 （1）排列的定义包括两个方面 ①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件 ①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

3．排列数的定义

从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示注意区别排列和排列数的不同 "一个排列"是指 从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；"排列数"是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列

4．排列数公式及其推导

　　由的意义 假定有排好顺序的2个空位，从个元素中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过 ，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数．由分步计数原理完成上述填空共有种填法，∴=

　　由此，求可以按依次填3个空位 考虑，∴=，

求以按依次填个空位 考虑，

排列数公式

　　（）

　　说明 （1）公式特征 第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个

少1，最后一个因数是，共有个因数；

　　（2）全排列 当时即个不同元素全部取出的一个排列

　　全排列数 （叫做n的阶乘）

　　另外，我们规定 0! =1 .

　　例1．用计算器计算 (1）； (2）; (3）.

　　解 用计算器可得

　　由（ 2 ) ( 3 ）我们看到，．那么，这个结果有没有一般性呢？即

　　.

　　排列数的另一个计算公式

　　=.

即 =

　　例2．解方程 3．

　　解 由排列数公式得 ，

　　∵，∴ ，即，

　　解得 或，∵，且，∴原方程的解为．

　　例3．解不等式 ．

　　解 原不等式即，

　　也就是，化简得 ，

　　解得或，又∵，且，

　　所以，原不等式的解集为．

　　例4．求证 （1）；（2）．

　　证明 （1），∴原式成立

　　（2）

　　　　　右边

　　∴原式成立

　　说明 （1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数中，且这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；

　　（2）公式常用 求值，特别是均为已知时，公式=，常用 证明或化简

　　例5．化简 ⑴；⑵

　　⑴解 原式

　　⑵提示 由，得，

　　原式

　　说明 ．

归纳