∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．

　　即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．

　　由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立．

　　利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到"添项"与"减项""因式分解"等变形技巧，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．

　　3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除．

　　证明：①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立．

　　②假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，当n＝k＋1时，

　　[(3k＋3)＋1]·7k＋1－1＝[3k＋1＋3]·7·7k－1＝

　　7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k

　　＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k

　　＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，

　　由归纳假设(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因为 18k·7k＋27·7k也能被9整除，所以[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，即n＝k＋1时命题成立．

　　则①②可知对所有正整数n命题成立．

　　4．用数学归纳法证明：1－(3＋x)n(n∈N＋)能被x＋2整除．

　　证明：(1)n＝1时，1－(3＋x)＝－(x＋2)，能被x＋2整除，命题成立．

　　(2)假设n＝k(k≥1)时，1－(3＋x)n能被x＋2整除，则可设1－(3＋x)k＝(x＋2)f(x)(f(x)为k－1次多项式)，

　　当n＝k＋1时，1－(3＋x)k＋1＝1－(3＋x)(3＋x)k

　　＝1－(3＋x)[1－(x＋2)f(x)]

＝1－(3＋x)＋(x＋2)(3＋x)f(x)