课题：正态分布学案（第7讲）

【教学目标】

（1） 了解连续型随机变量的概念、连续型随机变量的分布密度函数及分布密度曲线；

（2） 理解正态分布的密度函数的性质，并能利用正态分布理解和认识生活中的随机现象；

（3）通过对正态分布在实际生活中的应用，进一步认识数学知识在解决实际问题中的作用

【教学重点】

正态分布在实际生活中的应用

【教学难点】

利用正态分布的相关知识，解释随机现象，解决实际问题

【教学方法】多媒体教学

【教学课时】2课时

■ 【教学流程】

一、课前预习指导：

　　1．正态曲线的概念

　　正态总体函数φμ，σ(x)＝ e－，x∈(－∞，＋∞)，其中μ表示总体平均值，σ表示标准差，函数的图象叫正态分布密度曲线，简称正态曲线．

　　特例：当μ＝0，σ＝1时，函数表达式是f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，相应的曲线称为标准正态曲线．

　　2．正态分布

　　(1)一般地，若对于任何实数，a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称X服从正态分布．

　　(2)正态分布记作：N(μ，σ2)，若X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．正态分布完全由参数μ和σ确定，若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2，＝σ.

　　3．正态曲线的特点

　　正态曲线φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)有以下性质：

　　(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

　　(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

　　(3)曲线在x＝μ处达到峰值；

　　(4)曲线与x轴之间的面积为1；

　　(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

　　(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越"瘦高"，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越"矮胖"，表示总体的分布越分散．

　　如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系如何？

　　4．正态分布的3σ原则

　　(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率

　　P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6，

　　P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4，

　　P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.

　　(2)3σ原则

　　在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．正态总体几乎取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．

二、新课学习

　　【例1】 如图所示，是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．

　　【例2】 设ξ～N(1,22)，试求：

(1) P(－1＜ξ≤3)；(2)P(3＜ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．

　　【例3】 设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．

备注：

课堂训练　

　　在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ＞0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，

　　求(1)X在(0,4)内取值的概率；

　　(2)P(X＞4)．

教学反思

练案

　　1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是(　　)

　　A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件

　　B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件

　　C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件

　　D．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件

2．已知随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，则P(ξ＞4)＝(　　)