2019-2020学年北师大版选修2-1 空间向量及其运算 学案

典例精析

题型一　共线和共面向量

【例1】 设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的中点，求证：M、N、P、Q四点共面.

【证明】因为＝，＝，所以＝2，＝2，

又＝(＋)，＝λ＝2λ，＝ω＝2ω，

所以＝(2λ＋2ω)＝λ＋ω，

所以、、共面，即M、N、P、Q四点共面.

【点拨】可以利用共面向量定理或其推论完成证明.用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行，更简捷，使问题简单化.

【变式训练1】如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A、B、N、M四点共面.

【证明】设＝a，＝b，＝c，则＝b－a.

因为M是DD1的中点，所以＝c－a.

因为AN∶NC＝2，所以＝＝(b＋c)，所以＝－＝(b＋c)－a＝(b－a)＋(c－a)＝＋，

所以A、B、M、N四点共面.

题型二　利用向量计算长度和证明垂直

【例2】已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°.

(1)求AC1的长；

(2)求证：AC1⊥平面A1BD.

【解析】(1)设＝a，＝b，＝c，

则a·b＝b·c＝c·a＝1×1×cos 60°＝，a2＝b2＝c2＝1.而＝a＋b＋c，

所以||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c

＝1＋1＋1＋2×＋2×＋2×＝6，即||＝.

(2)证明：因为＝a－c，