所以实数a的取值范围是[1,2]．

　　题型三、利用柯西不等式证明不等式

　　例3　已知a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥9.

　　【精彩点拨】　对应三维形式的柯西不等式，a1＝，a2＝，a3＝，b1＝，b2＝，b3＝，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．

　　【自主解答】　∵a，b，c∈R＋，

　　由柯西不等式，知

　　＝[＋＋]×[＋＋]

　　≥

　　＝(1＋1＋1)2＝9，

　　∴≥9.

　　规律总结：

　　1．当ai，bi是正数时，柯西不等式变形为(a1＋a2＋...＋an)(b1＋b2＋...＋bn)≥(＋＋...＋)2.

　　2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．

　　[再练一题]

　　3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．

　　(1)求m的值；

　　(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.

　　【解】　(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.

　　由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．

　　又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.

　　(2)证明：由(1)知＋＋＝1.又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥＝9.

（四）归纳小结