类型一　复数代数形式的乘法运算

例1　(1)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝________.

(2)已知复数z1＝(1＋i)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.

答案　(1)－3　(2)4＋2i

解析　(1)由(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i的实部与虚部相等，可得a－2＝2a＋1，解得a＝－3.

(2)z1＝(1＋i)＝2－i.

设z2＝a＋2i，z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.

∵z1·z2是实数，∴4－a＝0，即a＝4，

∴z2＝4＋2i.

引申探究

1．若本例(1)中复数(1＋2i)(a＋i)表示的点在第二象限，则a的取值范围是____________．

答案　

解析　(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，

由题意知解得－

2．将本例(2)中"z1·z2是实数"改为"z1·z2是纯虚数"，

求z2.

解　由例1(2)知，z1·z2＝(2a＋2)＋(4－a)i，

∵z1·z2是纯虚数，∴

解得a＝－1，∴z2＝－1＋2i.

反思与感悟　(1)两个复数代数形式乘法的一般方法

首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

(2)常用公式

①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；

②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；

③(1±i)2＝±2i.