②如图所示,如果b∥α,
则a,b确定平面β.
显然α与β相交,
设α∩β=c,因为b∥α,
所以b∥c.又a∥b,
从而a∥c,且a⊄α,c⊂α,
则a∥α,这与a∩α=A相矛盾.
由①②知,假设不成立,故直线b与平面α必相交.
探究点三 用反证法证明否定性命题
例2 求证:不是有理数.
证明 假设是有理数.于是,存在互质的正整数m,n,
使得=,从而有m=n,因此m2=2n2,
所以m为偶数.于是可设m=2k(k是正整数),从而有
4k2=2n2,即n2=2k2,
所以n也为偶数.这与m,n互质矛盾.
由上述矛盾可知假设错误,从而不是有理数.
反思与感悟 当结论中含有"不"、"不是、"不可能"、"不存在"等否定形式的命题时,由于此类问题的反面比较具体,适于应用反证法.
跟踪训练2 已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证:,,不成等差数列.
证明 假设,,成等差数列,则
+=2,即a+c+2=4b,
而b2=ac,即b=,∴a+c+2=4,
∴(-)2=0.即=,
从而a=b=c,与a,b,c不成等差数列矛盾,
故,,不成等差数列.
探究点四 含至多、至少、唯一型命题的证明
例3 若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,那么方程f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根.