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当且仅当 .

　　故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为

　　对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的，请读者不妨一试. 另外，本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关，还请做做对照. 类似的问题是:

某企业设计一个容积为V的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）.

例5 已知三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，

D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．

（1）求证：AP⊥平面BDE；

　　（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；

　　（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥

P-ABC所成两部分的体积比．

　　讲解: (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．

　　由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．

（2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP．

　　由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．

　　又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．

（3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2．则w.w.w.302edu.c.o.m

h1∶h2=EP∶AP=2∶3,

故截面BEF分三棱锥P-ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1

值得注意的是, "截面BEF分三棱锥P-ABC所成两部分的体积比"并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个, 希不要犯这种"会而不全"的错误.