第二章　数列

2.3　等差数列的前n项和

2.3　等差数列的前n项和(第1课时)

学习目标

　　掌握等差数列前n项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.了解等差数列前n项和的定义,了解倒序相加的原理,理解等差数列前n项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;用方程思想认识等差数列前n项和的公式,利用公式求Sn,a1,d,n;等差数列通项公式与前n项和的公式共涉及五个量,已知其中三个量可求另两个量;会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值.

合作学习

　　一、设计问题,创设情境

　　1.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?

　　问题就是

　　这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.这实际上是一个求等差数列前100项和的问题,高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,...,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050.高斯算法将加法运算转化为乘法运算,迅速准确的得到了结果.

　　我们要求一般的等差数列的前几项和,高斯算法对我们有何启发?

　　二、信息交流,揭示规律

　　2.公式推导

　　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,Sn=a1+a2+a3+...+an=?,由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.

　　思路一:运用基本量思想,将各项用a1和d表示,得

　　Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+...+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d],有以下等式a1+[a1+(n-1)d]=(a1+d)+[a1+(n-2)d]=(a1+2d)+[a1+(n-3)d]=...,问题是一共有多少个　　　　,似乎与n的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.

　　思路二:

　　上面的等式其实就是a1+an=a2+an-1=a3+an-2=...,为回避个数问题,做一个改写Sn=a1+a2+a3+...+an-2+an-1+an,Sn=an+an-1+an-2+...+a3+a2+a1,两式左右分别相加,得

　　2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+...+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1),

2Sn=n(a1+an)