课堂探究

探究一　向量数量积的坐标运算

　　已知向量的坐标，直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；若向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．

　　【例1】 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．

　　(1)试计算a·b及|a＋b|的值；

　　(2)求向量a与b夹角的余弦值．

　　解：(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，

　　所以a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，a＋b＝(5,2)，

　　所以|a＋b|＝．

　　(2)设向量a与b的夹角为x，

　　则cos ＝＝＝＝．

探究二 向量的模、夹角的坐标表示

　　1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a≠0，则向量a与b垂直⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．

　　2．向量垂直的坐标表示x1x2＋y1y2＝0与向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记、当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a·b＝0，而共线是方向相同或相反．

　　【例2】 已知向量a＝(－2，－1)，a·b＝10，|a－b|＝，则|b|＝(　　)

　　A． B． C．20 D．40

　　解析：设b＝(x，y)，由a＝(－2，－1)，a·b＝10，可得－2x－y＝10．①

　　a－b＝(－2－x，－1－y)，

　　所以|a－b|＝＝．②

　　由①②可得x＝－4，y＝－2．

　　所以b＝(－4，－2)，|b|＝＝．

　　答案：A

　　反思 本题是利用公式|a|＝ (其中a＝(a1，a2))求解．

　　【例3】 在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值．

　　分析：要对△ABC的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系．

解：当A＝90°时，·＝0，