2019-2020学年北师大版选修2-1 立体几何中的向量方法 学案

【学习目标】

1. 理解直线的方向向量与平面的法向量。

2. 能用向量方法证明有关直线和平面的平行与垂直。

3. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题。

4. 能用向量方法计算两点、点线、点面、面面距离。

【要点梳理】

要点一、直线的方向向量和平面的法向量

1.直线的方向向量：

若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。

要点诠释：

（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。

（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。

2. 平面的法向量定义：

已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量。

　　要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。

3.平面的法向量确定通常有两种方法：

（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；

（2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：

（i）设出平面的法向量为n=（x，y，z）；

（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a1，b1，c1），b=（a2，b2，c2）；

（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；

（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．

要点二、用向量方法判定空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。

（1）线线平行