∵x不是无理数,∴x是有理数,
又是无理数,∴x-是无理数,不是有理数,
∴原命题的逆否命题是真命题.
类型二 等价命题的应用
例2 设m,n∈R,证明:若m2+n2=2,则m+n≤2.
考点 反证法逆否证法
题点 逆否证法
证明 将"若m2+n2=2,则m+n≤2"视为原命题,
则它的逆否命题为"若m+n>2,则m2+n2≠2".
因为m+n>2,所以m2+n2≥(m+n)2>×22=2.
所以m2+n2≠2,所以原命题得证.
反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,即互为逆否命题的命题具有等价性,因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.
跟踪训练2 证明:若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.
考点 反证法和逆否证法
题点 逆否证法
证明 命题"若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1"的逆否命题为"若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0".
由a=2b+1,得a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2×(2b+1)+1=4b2+4b+1-4b2-4b-2+1=0,
显然原命题的逆否命题为真命题,所以原命题也为真命题.故原命题得证.
1.下列命题为真命题的是( )
A.命题"若x>y,则x>|y|"的逆命题
B.命题"若x=1,则x2>1"的否命题
C.命题"若x=1,则x2+x-2=0"的否命题
D.命题"若x2>1,则x>1"的逆否命题