图2-2-7

若a、b不共线，如图2-2-7所示，

则点O、A、B不共线，则点O、A、B构成△OAB.

由三角形任意两边之和大于第三边得||+||＞||.

即|a+b|＜|a|+|b|.

若a、b同向共线时，如图2-2-8所示，

图2-2-8

则点O、A、B共线.此时||+||=||,即|a+b|=|a|+|b|.

当a、b异向共线时，如图2-2-9所示,

图2-2-9

则点O、A、B共线.

此时如图2-2-9（甲）所示，有||=||+||，则|a|=|a+b|+|b|.

如图2-2-9（乙）所示，有||+||=||，则|a|+|a+b|=|b|.

∴|a+b|＜|a|+|b|.

综上所得,|a+b|≤|a|＋|b|.

由本题还可得结论：|a+b|≥||a|－|b||.

∴对于向量a、b，有如下结论：

||a|－|b||≤|a+b|≤|a|＋|b|.

下面看此结论的应用.

例如：已知|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值是__________，最小值是__________.

思路分析：由题意，得|12－8|≤|a+b|≤12＋8，4≤|a+b|≤20.

答案：20 4