因为PD∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME,

所以PD∥ME.

因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点.

所以M为PB的中点.

(2)取AD的中点O,连接OP,OE.

因为PA=PD,所以OP⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD,且OP⊂平面PAD,

所以OP⊥平面ABCD.

因为OE⊂平面ABCD,所以OP⊥OE.

因为ABCD是正方形,所以OE⊥AD.

如图建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-).

设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),

则即

令x=1,则y=1,z=.

于是n=(1,1,).

平面PAD的一个法向量为p=(0,1,0).

所以cos==.

由题意知二面角B-PD-A为锐角,所以它的大小为.

(3)由题意知M,C(2,4,0),=.

设直线MC与平面BDP所成角为α,

则sin α=|cos|==.

所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.

3.(2018课标全国Ⅱ,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.

(1)证明:直线CE∥平面PAB;

(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.

解析　(1)取PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF=AD.

由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,又BC=AD,所以EF􀱀BC,四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF,又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB.

(2)由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).