设M(x,y,z)(0

因为BM与底面ABCD所成的角为45°,

而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,

所以|cos<,n>|=sin 45°,=,

即(x-1)2+y2-z2=0.①

又M在棱PC上,设=λ,则

x=λ,y=1,z=-λ.②

由①,②解得(舍去),或

所以M,从而=.

设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,

则即

所以可取m=(0,-,2).

于是cos==.

易知所求二面角为锐角.

因此二面角M-AB-D的余弦值为.

4.(2018课标全国Ⅲ,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.

(1)证明MN∥平面PAB;

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

解析　(1)由已知得AM=AD=2.

取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.(3分)

又AD∥BC,故TN􀱀AM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.

因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(6分)

(2)取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD,且AE===.

以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.

由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N,

=(0,2,-4),=,=.

设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,

则即(10分)

可取n=(0,2,1).