2019-2020学年北师大版选修2-2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则三 学案
2019-2020学年北师大版选修2-2     基本初等函数的导数公式及导数的运算法则三     学案第2页

(1)y=ln ;(2)y=esin x;(3)y=cos (x+1).

解 (1)y=ln u,u=;

(2)y=eu,u=sin x;

(3)y=cos u,u=x+1.

探究点二 复合函数的导数

思考 如何求复合函数的导数?

答 对于简单复合函数的求导,其一般步骤为"分解--求导--回代",即:(1)弄清复合关系,将复合函数分解成基本初等函数形式;(2)利用求导法则分层求导;(3)最终结果要将中间变量换成自变量.注意不要漏掉第(3)步回代的过程.

例2 求下列函数的导数:

(1)y=(2x-1)4;(2)y=;

(3)y=sin(-2x+);(4)y=102x+3.

解 (1)原函数可看作y=u4,u=2x-1的复合函数,则yx′=yu′·ux′=(u4)′·(2x-1)′=4u3·2=8(2x-1)3.

(2)y==(1-2x)-可看作y=u-,u=1-2x的复合函数,则yx′=yu′·ux′=(-)u-·(-2)=(1-2x)-=;

(3)原函数可看作y=sin u,u=-2x+的复合函数,

则yx′=yu′·ux′=cos u·(-2)=-2cos(-2x+)

=-2cos(2x-).

(4)原函数可看作y=10u,u=2x+3的复合函数,

则yx′=yu′·ux′=102x+3·ln 10·2=(ln 100)102x+3.

反思与感悟 分析复合函数的结构,找准中间变量是求导的关键,要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体,并且它们必须是一些常见的基本函数.

复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,从外层开始由外及内逐层求导.

跟踪训练2 求下列函数的导数.

(1)y=(2x+3)3;

(2)y=e-0.05x+1;