将n＝1,2代入等式得解得

　　下面用数学归纳法证明等式(n2－12)＋2(n2－22)＋3(n2－32)＋...＋n(n2－n2)＝n4－n2对一切正整数n都成立．

　　①当n＝1时，由以上可知等式成立；

　　②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，

　　即(k2－12)＋2(k2－22)＋...＋k(k2－k2)＝k4－k2，

　　则当n＝k＋1时，[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋...＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]

　　＝(k2－1)2＋2(k2－22)＋...＋k(k2－k2)＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋...＋k(2k＋1)

　　＝k4－k2＋(2k＋1)·

　　＝(k＋1)4－(k＋1)2.

　　由①②知，存在a＝，b＝－使得等式对一切正整数n都成立．

　　1．在证明整除问题时，有些命题可能仅当n是偶数(或奇数)时成立，证明时可适当地转化k，使k成为全体自然数的形式．如：证明xn＋yn，n为正奇数，能被x＋y整除，证明时需将问题转化为证明x2k－1＋y2k－1，k∈N*，能被x＋y整除．

　　2．几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由特殊猜想出一般结论．

　　3．利用"归纳--猜想--证明"来研究探索性问题，一般从最特殊的情况入手，通过分析、归纳、猜想，从而达到探索一般规律的目的．

　　[对应课时跟踪训练(十九)]　

　　一、填空题

　　1．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.

　　答案：π

2．用数学归纳法证明n(n＋1)(2n＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n＝k＋1时命题成立，需将n＝k＋1时的原式表示成________．