§2.2　直接证明与间接证明

2．2.1　综合法和分析法

学习目标　1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．

知识点一　综合法

思考　阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？

已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.

证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.

又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.

因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.

答案　利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．

梳理　(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

(2)综合法的框图表示

―→―→―→...―→

(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)

知识点二　分析法

思考　阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？

已知a，b>0，求证：≥.

证明：要证≥，

只需证a＋b≥2，

只需证a＋b－2≥0，

只需证(－)2≥0，

因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．

答案　从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．