【证明】　(1)用比较法：c(a＋b－c)－b(c＋a－b)

　　＝ac＋bc－c2－bc－ab＋b2＝b2－c2＋ac－ab

　　＝(b＋c)(b－c)－a(b－c)＝(b＋c－a)(b－c)．

　　因为b≥c，b＋c－a≥0，

　　于是c(a＋b－c)－b(c＋a－b)≥0，

　　即c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)．①

　　同理可证b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．②

　　综合①②，证毕．

　　(2)由题设及(1)知

　　a≥b≥c，a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(a＋b－c)，

　　于是由排序不等式"逆序和≤乱序和"得

　　a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)

　　≤ab(b＋c－a)＋bc(c＋a－b)＋ca(a＋b－c)

　　＝3abc＋ab(b－a)＋bc(c－b)＋ca(a－c)．③

　　再一次由"逆序和≤乱序和"得

　　a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)

　　≤ac(b＋c－a)＋ba(c＋a－b)＋cb(a＋b－c)

　　＝3abc＋ac(c－a)＋ab(a－b)＋bc(b－c)．④

　　将③和④相加再除以2，得

　　a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.

　利用柯西不等式求最值 　　由于柯西不等式是求解含多个变量式子最值(除平均值不等式外)的一种重要方法，是某些求最值问题的唯一工具，应用的关键是根据题设条件，对目标函数进行配凑，以保证出现常数结果，同时，注意等号成立的条件．

　　　求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．

　　【精彩点拨】　根据x，y的系数适当构造形式求解，切忌等号成立的条件．

　　【规范解答】　由柯西不等式，得

(12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]≥[1×(y－1)＋2×(3－x－y)＋1×(2x＋y－6)]2＝1，