可以描述为第i步有三种走法,倒退,不动和前进,倒退的概率为a,不动的概率为b,后退的概率为c。这其实是概率论中著名的"直线的随机游走问题"。
从数列的角度分析,实质上是一个递推公式,则p_(i+1)=5p_i-4p_(i-1)
证明:(p_(i+1)-p_i)/(p_i-p_(i-1) )=(4p_i-4p_(i-1))/(p_i-p_(i-1) )=4
所以为等比数列
数列的通项公式为p_i-p_(i-1)=p_1×4^(i-1),
所以可以用叠加法求解:
〖 p〗_2-p_1=p_1×4
p_3-p_2=p_1×4^2
﹍﹍﹍
〖 p〗_i-p_(i-1)=p_1×4^(i-1)
可得p_i-p_1=p_1×(4+4^2+⋯+4^(i-1) )=p_1×(4×(1-4^(i-1) ))/(1-4)
p_i=(4^i-1)/3 p_1
, 所以
则