系数.

解：y=x2(1-x)=x·x(1-x)=x·x·(2-2x)×

≤.

当且仅当x=2-2x,即x=时取等号.

此时,ymax=.

【例2】 已知n是大于1的自然数，求证：

2n>1+.

思路分析：2n>1+等价于2n-1>①

根据等比数列的前n项和公式逆向联想到

2n-1==1+2+22+...+2n-1.

即①式也可表示为n个不同的数1，2，22，...，2n-1之积，因此自然联想到；如果正好等于这几个正数之积的n次算术根，则①即可由均值不等式证得.

证明：∵2n-1=1+2+22+...+2n-1>,

∴2n>1+.

绿色通道：在使用均值不等式的题目中，尤其对于n个正数的均值不等式，能够分析或观察到是n个正数的均不等式问题是解答的关键，这也需要对提供的条件代数式进行适当的变形.

【变式训练】 已知：a,b,c同号且互不相等，a+b+c=1,求证：++>9.

思路分析：本题解法较多，已知条件中a+b+c可看作是"1"的代换，然后两两结合使用基本不等式，或者看作6个正数的均值不等式.

证法一：++=

=1++++1++++1

=(+)+(+)+(+)+3.

∵a,b,c同号，且a+b+c=1.

∴a>0,b>0,c>0.

∴,,,,,均大于0.又a,b,c互不相等，由基本不等式，得

+>2,+>2,+>2.