类型一　复数代数形式的乘法运算

例1　(1)已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y＝________.

(2)已知复数z1＝(－i)(1＋i)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.

答案　(1)2i　(2)4＋2i

解析　(1)∵xi－y＝－1＋i，

∴得

则(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i.

(2)z1＝(－i)(1＋i)＝2－i.

设z2＝a＋2i，z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.

∵z1·z2是实数，∴4－a＝0，即a＝4，

∴z2＝4＋2i.

反思与感悟　1.两个复数代数形式乘法的一般方法：首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

2．常用公式

(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；

(3)(1±i)2＝±2i.

跟踪训练1　在复平面内复数(1＋bi)(2＋i)(i为虚数单位，b是实数)表示的点在第四象限，则b的取值范围是________．

答案　(－∞，－)

解析　(1＋bi)(2＋i)＝2＋i＋2bi－b＝2－b＋(2b＋1)i，

由题意知解得b<－.