≥abc.

　　证明：构造两组数ab，bc，ca；ca，ab，bc，

　　则由柯西不等式得

　　·

　　≥ab·ca＋bc·ab＋ca·bc，

　　即b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．

　　于是≥abc.

　　2．已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1.

　　求证：|a＋b＋c|≤.

　　证明：由柯西不等式，得

　　(a＋b＋c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)＝3.

　　所以－≤a＋b＋c≤，

　　所以|a＋b＋c|≤.

　　　用三维形式柯西不等式求最值

　　　设a，b，c为正数，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值．

　　【解】　因为(a＋2b＋3c)

　　≥

　　＝(＋＋)2，

　　所以(＋＋)2≤13×＝.

　　所以＋＋≤，

　　当且仅当＝＝时，等号成立．

又a＋2b＋3c＝13，