【例1】 已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤.

证明　由于2x＋y＝(x)＋(y).

由柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a＋a)(b＋b)得

(2x＋y)2≤(3x2＋2y2)

≤×6＝×6＝11，

∴|2x＋y|≤，∴2x＋y≤.

【反思感悟】 柯西不等式(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2⇔ ≥|a1b1＋a2b2|，应用时关键是对已知条件的变形.

1.已知a，b，c，d∈R，x>0，y>0，且x2＝a2＋b2，y2＝c2＋d2，求证：xy≥ac＋bd.

证明　由柯西不等式知：

ac＋bd≤＝·＝xy.

∴xy≥ac＋bd.

【例2】 (二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R，用代数的方法证明 ＋≥ .

证明　(＋)2

＝x＋y＋2 ＋x＋y

≥x＋y＋2|x1x2＋y1y2|＋x＋y

≥x＋y－2(x1x2＋y1y2)＋x＋y

＝x－2x1x2＋x＋y－2y1y2＋y＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2

∴＋≥

【反思感悟】 在平面中设α＝(x1，y1)，β＝(x2，y2)，则α±β＝(x1±x2，y1±y2)，由向量加法的三角形法则知：

|α|＋|β|≥|α＋β|⇔＋≥

，由向量减法的几何意义知：

|α|＋|β|≥|α－β|⇔＋≥