(0≤t≤24),其中s的单位是m,t的单位是h,求函数在t=18时的导数,并解释它的实际意义.
[精解详析] 设f(x)=3sin x,x=φ(t)=t+.
由复合函数求导法则得s′(t)=f′(x)·φ′(t)=3cos x·=cos.
将t=18代入s′(t),得s′(18)=cos=(m/h).
它表示当t=18 h时,潮水的高度上升的速度为 m/h.
[一点通] 将复合函数的求导与导数的实际意义结合,旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率,体现导数揭示物体某时刻的变化状况.
4.f(x)=,且f′(1)=1,则a的值为________.
解析:∵f′(x)=·(ax-1)′=,
∴f′(1)==1.解得a=2.
答案:2
5.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=________.
解析:∵y′=a·eax,且y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,∴k=2=f′(0)=a,即a=2.
答案:2
6.一听汽水放入冰箱后,其摄氏温度x(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化满足关系:x=4+16e-2t.
(1)求汽水温度x在t=1处的导数;
(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系x=y-32.写出y关于t的函数解析式,并求y关于t的函数的导数.
解:x′=-32e-2t.
(1)当t=1时,x′=-.
(2)y=(x+32)=(16e-2t+36),
y′=e-2t×(-2)=-e-2t.