2019-2020学年北师大版选修2-2 数学归纳法 学案

题型一　用数学归纳法证明恒成立

例1　求证：(n＋1)(n＋2)·...·(n＋n)＝2n·1·3·...·(2n－1)(n∈N*).

证明　(1)当n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立.

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，

即(k＋1)(k＋2)·...·(k＋k)＝2k·1·3·...·(2k－1)，

那么，当n＝k＋1时，

左边＝(k＋2)(k＋3)·...·(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)

＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)·...·(k＋k)·

＝2k·1·3·...·(2k－1)(2k＋1)·2

＝2k＋1·1·3·...·(2k－1)·[2(k＋1)－1]＝右边.

∴当n＝k＋1时，等式也成立.

由(1)(2)可知，对一切n∈N*，原等式均成立.

反思与感悟　用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于"先看项"，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项.

跟踪训练1　用数学归纳法证明12＋32＋52＋...＋(2n－1)2＝n(4n2－1)(n∈N*).

证明　(1)当n＝1时，左边＝12，右边＝×1×(4×12－1)＝1，

左边＝右边，等式成立.

(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，

即12＋32＋52＋...＋(2k－1)2＝k(4k2－1)，

则当n＝k＋1时，

12＋32＋52＋...＋(2k－1)2＋(2k＋1)2

＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2