【例2】 设0

思路分析:此命题为否定式，直接证明比较困难，可以考虑反证法.假设命题不成立，则三个数都大于，然后从这个结论出发，推出与题设矛盾的结果来.

证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a三个数都大于,

即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>.

以上三式相乘得(1-a)b5(1-b)c5(1-c)a>,

亦即(1-a)a5(1-b)b5(1-c)c>.①

又∵0

∴0<(1-a)a≤［］2=.

同理,0<(1-b)b≤,0<(1-c)c≤.

以上三式相乘得(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤,与①矛盾.

∴假设不成立，故命题获证.

类题演练2

已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:与中至少有一个小于2.

证明:假设、都不小于2，则≥2,≥2.

∵x>0,y>0,

∴1+y≥2x,1+x≥2y,2+x+y≥2(x+y).

∴x+y≤2，这与已知x+y>2矛盾.

故假设不成立，原题得证.

变式提升2

设a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥.

证明:∵ab≤,bc≤,ca≤,

三式相加得ab+bc+ca≤a2+b2+c2.

假设a2+b2+c2<,由1=a+b+c,

∴1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2(a2+b2+c2)=3(a2+b2+c2)<3×=1,

即1<1,显然不成立.