由此可得,6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数,反过来,8 251与6 105的公约数也是6 105与2 146的公约数,所以它们的最大公约数相等.
对6 105与2 146重复上述步骤:6 105=2 146×2+1 813.
同理,2 146与1 813的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.继续重复上述步骤:
2 146=1 813×1+333,
1 813=333×5+148,
333=148×2+37,
148=37×4.
最后的除数37是148和37的最大公约数,也就是8 251与6 105的最大公约数.
这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道,对于任意两个正整数,上述除法步骤总可以在有限步之后完成,从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数.
算法分析:从上面的例子可以看出,辗转相除法中包含重复操作的步骤,因此可以用循环结构来构造算法.
算法步骤如下:
第一步,给定两个正整数m,n.
第二步,计算m除以n所得的余数为r.
第三步,m=n,n=r.
第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步.
程序框图如下图: