§3. 4 生活中的优化问题举例

教学目标：

1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量与自变量，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式，根据实际问题确定函数的定义域；

　　2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.

重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。

难点：在实际问题中，有常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。

教学方法：尝试性教学

教学过程：

前置测评：

　（1）求曲线y=x2+2在点P(1,3)处的切线方程.

　（2）若曲线y=x3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。

【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题

例1.汽油的使用效率何时最高

材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？

通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系g=f(v) 如图3.4-1，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v 为多少时，汽油的使用效率最高？

解：因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v

这样，问题就转化为求g/v的最小值，从图象上看，g/v