（四）教学过程

教学

环节 教学内容 师生互动 设计意图 提出

问题 我们学习了对数运算法则，可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？

师：从对数的定义可以知道，任何不等于1的正数都可以作为对数的底.数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数、自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出任意不为1的正数为底的对数.

产生认知冲突，激发学生的学习欲望. 概念

形成 1. 探求换底公式，明确换底公式的意义和作用.

例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算x=log1.01的值，利用换底公式与对数的运算性质，可得

x=log1.01==≈=32.8837≈33（年）.

由此可得，如果人口年增长率控制在1%，那么从2000年初开始，大约经过33年，即到2032年底我国的人口总数可达到18亿.

师：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？

logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0）.

（师生讨论并完成）

当a＞0，且a≠1时，

若ab=N， ①

则logaN=b. ②

在①的两边取以c（c＞0，且c≠1）为底的对数，

则logcab=logcN，

即blogca=logcN.

∴b=. ③

由②③得logaN=（c＞0，且c≠1）.

一般地，logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0），这个公式称为换底公式.

推导换底公式