跟踪训练1　(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)

A.ab＝0 B.ab>0

C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2>0

答案　D

解析　a2＋b2>0，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.

(2)"函数y＝x2－2x－a没有零点"的充要条件是________.

答案　a<－1

解析　函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点.故"函数y＝x2－2x－a没有零点"的充要条件是a<－1.

题型二　充要条件的证明

例2　求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.

证明　①必要性：

若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则

⇒

即

解得k<－2.

②充分性：当k<－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0.

设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.

则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1

＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0.

又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2

＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，

∴x1－1>0，x2－1>0.

∴x1>1，x2>1.

综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2.

反思与感悟　一般地，证明"p成立的充要条件为q"时，在证充分性时应以q为"已知条件"，p是该步中要证明的"结论"，即q⇒p；证明必要性时则是以p为"已知条件"，