所示的空间直角坐标系,AC=AB=2,BC=1,易求得S△ABC=×1×.

A(0,0,0),B(2,0,0),C(,,0).

设D(x,y,z).由DA=1得x2+y2+z2=1.①

由DC=2,得(x-)2+(y-)2+z2=4.②

由DB=2,得(x-2)2+y2+z2=4.③

由①③,得-4x+4=3,x=.④

将①④代入②,得1-×+,y=4,y=.⑤

将④⑤代入①,得+z2=1,

∴z2=,z=±.

∴D点到平面ACB的距离为，三棱锥的体积为.

绿色通道:本题采用建立空间直角坐标系,将问题转化为求D点的坐标问题的方法,避开了逻辑推理与空间想象而进行代数运算,思路也比较自然,求解也不复杂.这种通过建立空间坐标系来解决的立体几何问题,显得有规律可循,而且少了立体几何的空间想象.

变式训练已知球心C(1,1,2),球的一条直径的一个端点为A(-1,2,2),试求该球的表面积、体积及该直径的另一个端点的坐标与表示球面的方程.

分析：已知球心和一个端点可求出球的半径,再利用相应公式求出表面积、体积,直径的另一个端点可由中点坐标公式求得,球面的方程可利用其几何意义得出.

解:球的半径R=AC=,于是球的表面积为4πR2=20π；

球的体积为πR3=.因直径两端点关于球心对称,设另一端点的坐标为(x,y,z),则=1,x=3；=1,y=0；=2,z=2.故直径的另一个端点的坐标为(3,0,2).

设点P(x,y,z)为球面上的任一点,则PC=R=,即(x-1)2+(y-1)2+(z-2)2=5,它便表示球面的方程.

问题探究

问题1请想一想空间坐标系中点的对称问题都有哪些?

导思：数形结合是一个帮助思考问题的好办法,故解题时不妨先画一个图形.

求对称点坐标问题,无非就是中点与垂直问题：