类型一　空间向量的数量积运算

例1　(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明．

①p2·q2＝(p·q)2；

②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；

③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直．

解　①此命题不正确．

∵p2·q2＝|p|2·|q|2，

而(p·q)2＝(|p|·|q|·cos〈p，q〉)2

＝|p|2·|q|2·cos2〈p，q〉，

∴当且仅当p∥q时，p2·q2＝(p·q)2.

②此命题不正确．

∵|p2－q2|＝|(p＋q)·(p－q)|

＝|p＋q|·|p－q|·|cos〈p＋q，p－q〉|，

∴当且仅当(p＋q)∥(p－q)时，

|p2－q2|＝|p＋q|·|p－q|.

③此命题正确．

∵a·[(a·b)·c－(a·c)·b]＝a·(a·b)·c－a·(a·c)·b＝(a·b)(a·c)－(a·b)(a·c)＝0，

且a与(a·b)·c－(a·c)·b均为非零向量，

∴a与(a·b)·c－(a·c)·b垂直．

(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：

①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b)．

解　①∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，

∴a·b＝3×4×cos120°＝－6.

②∵(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2＋4a·b－4|b|2