设\s\up7(―→(―→)＝a，\s\up7(―→(―→)＝b，\s\up7(―→(―→)＝c，则\s\up7(―→(―→)＝(a＋b＋c)．

　　又\s\up7(―→(―→)＝\s\up7(―→(―→)－\s\up7(―→(―→)＝b－a，

　　∴\s\up7(―→(―→)·\s\up7(―→(―→)＝(a＋b＋c)·(b－a)

　　＝(b2－a2＋c·b－c·a)．

　　又∵A1A⊥AD，A1A⊥AB，∴c·b＝0，c·a＝0.

　　又|b|＝|a|，∴b2＝a2.∴b2－a2＝0.

　　∴\s\up7(―→(―→)·\s\up7(―→(―→)＝0.∴MN⊥BD.

　　同理可证MN⊥A1B.

　　又A1B∩BD＝B，

　　∴MN⊥平面A1BD.

空间向量与空间角 　　[例2]　四棱锥P­ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC⊥平面AMN.

　　(1)求AM与PD所成的角；

　　(2)求二面角P­AM­N的余弦值；

　　(3)求直线CD与平面AMN所成角的余弦值．

　　[解]　建立如图所示的空间直角坐标系．

　　∵A(0,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，D(0，2,0)，

　　∴\s\up7(―→(―→)＝(2,2，－2)，\s\up7(―→(―→)＝(0,2，－2)．

　　设M(x1，y1，z1)，\s\up7(―→(―→)＝λ\s\up7(―→(―→)，

　　则(x1，y1，z1－2)＝λ(0,2，－2)．

　　∴x1＝0，y1＝2λ，z1＝－2λ＋2.

　　∴M(0,2λ，2－2λ)．

　　∵PC⊥平面AMN，∴\s\up7(―→(―→)⊥\s\up7(―→(―→)，

　　∴\s\up7(―→(―→)·\s\up7(―→(―→)＝0.

　　∴(2,2，－2)·(0,2λ，2－2λ)＝0⇒4λ－2(2－2λ)＝0.

　　∴λ＝.∴M(0,1,1)．

　　设N(x2，y2，z2)，\s\up7(―→(―→)＝t\s\up7(―→(―→)，

则(x2，y2，z2－2)＝t(2,2，－2)．