即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立.

∵x2>0，∴2x3－a≥0，

∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立.

∴a≤(2x3)min.

∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，

∴(2x3)min＝16，∴a≤16.

当a≤16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是a≤16.

点评　已知函数单调性求参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题.一般地，函数f(x)在区间I上单调递增

(递减)等价于不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，且在I的任何子区间上不恒为零，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围，并验证f′(x)＝0是否有有限个解.

2.利用函数的单调性证明不等式

欲证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)≥g(x))成立，可以构造函数φ(x)＝f(x)－g(x)，利用导数进行证明.

例3　已知x>0，求证：ex>1＋x.

证明　设函数f(x)＝ex－(1＋x)，则f′(x)＝ex－1.

当x>0时，ex>e0＝1，所以f′(x)＝ex－1>0.

所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.

所以当x>0时，f(x)>f(0).

又f(0)＝e0－(1＋0)＝0，所以f(x)>0，即ex－(1＋x)>0.

故ex>1＋x.

点评　若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，则往往需要构造函数，借助函数的单调性来证明.

3.利用函数的单调性判断方程根的个数

若f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]上有唯一实数根；若f(a)f(b)与零的大小无法确定，则f(x)＝0在[a，b]上至多有一个实数根.