数λ,使得一个向量等于另一个向量的λ倍,把三点共线问题转化成向量共线的问题.

类题演练 3

设e1、e2是不共线的向量.已知向量=2e1+ke2,=e1+3e2,

=2e1-e2.若A、B、D三点共线,求k的值.

解:∵=-=(2e1-e2)-( e1+3e2)= e1-4e2,

又由题设A、B、D三点共线,得存在实数λ,使=λ,

∴2e1+ke2e2=λ(e1-4e2).

∴λ=2,k=-4λ=-8.

变式提升 3

已知两个非零向量e1和e2不共线,如果=2e1+3e2,=6e1+23e2,

=4e1-8e2,求证:A、B、D三点共线.

证明:∵=++

=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2

=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6,

∴向量与共线.

又与有共同起点A,

∴A、B、D三点共线.

温馨提示

证明三点共线问题可转化为证明两向量平行,这是数形结合思想的具体体现,但要弄清两向量平行的含义,即两向量所在的直线平行或重合时,两向量平行,因此证得两向量平行后,若两向量所在的两直线有公共点,则两直线必重合,从而可得三点共线.一般地,要证明A,B,C三点共线,只要用该三点任意构造两向量(如:,),证明它们共线就可以了.