令f′(x)=-4x(x+1)(x-1)=0,得
x=-1,x=0,x=1.
当x变化时,f′(x)及f(x)的变化情况如下表:
x -3 (-3,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) + 0 - 0 + 0 - f(x) -60 极大
值4 极小
值3 极大
值4 -5 ∴当x=-3时,f(x)取最小值-60;
当x=-1或x=1时,f(x)取最大值4.
(2)f′(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2+3,
∵f′(x)在[-1,1]内恒大于0,∴f(x)在[-1,1]上为增函数.故x=-1时,f(x)最小值=-12;
x=1时,f(x)最大值=2.
即f(x)的最小值为-12,最大值为2.
规律方法 (1)求函数的最值,显然求极值是关键的一环.但仅仅是求最值,可用下面简化的方法求得.
①求出导数为零的点.
②比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最大值和最小值.
(2)若函数在闭区间[a,b]上连续且单调,则最大、最小值在端点处取得.
跟踪演练1 求下列函数的最值:
(1)f(x)=x3-4x+4,x∈[0,3];
(2)f(x)=ex(3-x2),x∈[2,5].
解 (1)∵f(x)=x3-4x+4,∴f′(x)=x2-4.
令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2.
∵f(2)=-,f(0)=4,f(3)=1,
∴函数f(x)在[0,3]上的最大值为4,最小值-.
(2)∵f(x)=3ex-exx2,
∴f′(x)=3ex-(exx2+2exx)=-ex(x2+2x-3)
=-ex(x+3)(x-1),
∵在区间[2,5]上,f′(x)=-ex(x+3)(x-1)<0,