由(2)得 ＝＋\s\up6(→(→)

　　　·＝ ·\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝a2，

　　||＝|\s\up6(→(→)|＝a，

　　| |＝2(\f(1,2)＝4(1,4)＝a，

　　∴ cos< , >＝＝，

　　即异面直线PA与MN所成角为45°.

知识点三 利用数量积证明垂直关系

　　如图所示，m，n是平面α内的两条相交直线．如果l⊥m，l⊥n，

　　求证：l⊥α .

　　证明 在α内作任一直线g，分别在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.

　　因为m与n相交，所以向量m，n不平行．

　　由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对(x，y)，使g＝xm＋yn.

　　将上式两边与向量l作数量积，

　　得l·g＝xl·m＋yl·n.

　　因为l·m＝0，l·n＝0，所以l·g＝0,

　　所以l⊥g.即l⊥g.

　　这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，

　　所以l⊥α.

　　【反思感悟】　证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直，即证明两向量数量积为零．

　　已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB.

　　证明 ∵OA⊥BC，OB⊥AC，∴·= 0，·= 0.

　　∵ ·＝(+)· ( \s\up6(→(→) + )

　　= ·\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)

　　=· \s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)·(\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→))

　　= ·\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)·＝\s\up6(→(→) · (＋\s\up6(→(→))＝\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝0，

　　∴ ⊥\s\up6(→(→) ，∴OC⊥AB.

　　课堂小结：

空间两个向量a，b的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，这里〈a，b〉表示空间两向量所成的角(0≤〈a，b〉≤π)．空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质．应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题．即(1)利用a⊥b⇔a·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利