三．典例分析

例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？

解：根据基本初等函数导数公式表，有

　　所以（元/年）

　　因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．

例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1）

（2）y ＝；

（3）y ＝x · sin x · ln x；

（4）y ＝；

（5）y ＝．

（6）y ＝（2 x2－5 x ＋1）ex

（7） y ＝

【点评】

　　① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．

例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为

求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1） （2）

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．

（1） 因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．

（2） 因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．

函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，．它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．

及时运用新知识，巩固练习，让学生体验成功，为了使学生实现从掌握知识到运用知识的转化 四、概括梳理，形成系统

（小结） 1．基本初等函数的导数公式表

2．能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题. 练习与测试:

1. 求下列函数的导数：(1) (2) (3) y = tanx (4)

2.求函数的导数.

(1)y=2x3+3x2－5x+4 (2)y=sinx－x+1 (3)y=(3x2+1)(2－x) (4)y=(1+x2)cosx

3.填空：

(1)［(3x2+1)(4x2－3)］′=( )(4x2－3)+(3x2+1)( )

(2)(x3sinx)′=( )x2sinx+x3( )

4.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.

［(3+x2)(2－x3)］′=2x(2－x3)+3x2·(3+x2)

5.y=3x2+xcosx，求导数y′.

6.y=5x10sinx－2cosx－9，求y′.

参考答案：

1.(1)y′′;

(2)y′′;

(3)y′= (tanx)′=()′;

(4)y′′＝.

2.(1)(2x3+3x2-5x+4)′=(2x3)′+(3x2)′-(5x)′+4′=2·3x2+3·2x-5=6x2+6x-5

(2)y′=(sinx－x+1)′=(sinx)′－x′+1′=cosx－1

(3)y′=［(3x2+1)(2－x)］′=(3x2+1)′(2－x)+(3x2+1)(2－x)′

　　=3·2x(2－x)+(3x2+1)(－1)=－9x2+12x－1

(4)y′=［(1+x2)cosx］′=(1+x2)′cosx+(1+x2)(cosx)′

　　=2xcosx+(1+x2)(－sinx)=2xcosx－(1+x2)sinx

3.(1)［(3x2+1)(4x2－3)］′=(3x2+1)′(4x2－3)+(3x2+1)(4x2－3)′

　　=3·2x(4x2－3)+(3x2+1)(4·2x)=(6x)(4x2－3)+(3x2+1)(8x)

(2) (x3sinx)′=(x3)′sinx+x3(sinx)′=(3)x2sinx+x2(cosx)

4.不正确.［(3+x)2(2－x3)］′=(3+x2)′(2－x3)＋(3＋x2)(2－x3)′

=2x(2－x3)+(3+x2)(－3x2)=2x(2－x3)－3x2(3+x2)

5.y′=(3x2+xcosx)′=(3x2)′+(xcosx)′

=3·2x+x′cosx+x(cosx)′=6x+cosx+xsinx

6.y′=(5x10sinx－2cosx－9)′=(5x10sinx)′－(2cosx)′－9′

　　=5·10x9sinx+5x10cosx－(·cosx－2sinx)

　　=50x9sinx+5x10cosx－cosx+2sinx

=(50x9+2)sinx+(5x10－)cosx