3.双曲线只有两个顶点,而椭圆有四个顶点,这与椭圆不同,更不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆.双曲线的焦点总在实轴上,实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.

4.双曲线的离心率.

双曲线的焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率.

因为c>a>0,所以双曲线的离心率e=>1.

由等式c2=a2+b2,可得=.

因此e越大,也越大,即渐近线y=±x的斜率的绝对值越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.

5.双曲线的渐近线

对于双曲线经过点A2,A1作y轴的平行线x=±a,经过点B1,B2作x轴的平行线y=±b,四条直线围成一个矩形(如图).矩形的两条对角线所在直线的方程是y=±x.从图中可以看出双曲线=1的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近,我们把这两条直线叫作双曲线的渐近线.

(1)双曲线=1的渐近线为y=±x,双曲线=1的渐近线为y=±,两者容易记混,可将双曲线方程中的"1"换成"0",然后因式分解即得渐近线方程,这样就不至于记错了.

(2)双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交.

(3)若已知渐近线方程为mx±ny=0,求双曲线方程.双曲线的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,可用下面的方法来解决.

方法1:分两种情况设出方程进行讨论.

方法2:依据渐近线方程,设出双曲线为m2x2-n2y2=λ(λ≠0),求出λ即可.

(4)与=1共渐近线的双曲线的方程可设为=λ(λ≠0).

名师解惑

1.如何解决与特征△PF1F2(P为双曲线上的点)有关的计算问题?

剖析：一般涉及与△PF1F2有关的计算或判定问题时,常考虑双曲线的定义,正,余弦定理,面积公式相结合的方法解决问题.

2.如何确定离心率e的取值情况与双曲线形状的关系?