(2)间接论证的应用有一定困难,因为在间接证明过程中,不得不暂时离开所讨论的论题,引进许多补充的材料(如结论的反面等),致使全部考查过程复杂化.但这种方法我们务必学会.因为在实际生活以及数学和其他科学中,时常会遇到这样的命题,当时并无直接证明它的论据,必须用间接法来证明它的真实性.

(3)用反证法证明命题"若p则q",它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：

肯定条件p

"既p又q"为假"若p则q"为真.

(4)应用反证法证明数学问题,一般有下面几个步骤：

第一步：分清命题"p→q"的条件和结论;

第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定q;

第三步：由p和q出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果;

第四步：断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定q不真,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题p→q为真.

(5)第三步所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾,与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况.

活学巧用

例1 求证：质数有无穷多.

证明：如果质数的个数有限,那么我们可以将全体质数列举如下：

p1,p2, ...,pk,

命q=p1p2...pk+1.

q总是有质因数的,但我们可证明任何一个pi(1≤i≤k)都除不尽q.假若不然,由pi除尽q,及pi除尽p1p2...pk可得到pi除尽(q-p1p2...pk),即pi除尽1,这是不可能的.故任何一个pi都除不尽q.这说明q有不同于p1、p2, ...,pk的质因数.这与只有p1,p2, ...,pk是全体质数的假定相矛盾.

所以质数有无穷多.

点评：本题是利用反证法证明数学中的一个基础命题,本命题若用直接方法来证明非常困难,因此宜用反证法.

例2 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆心,C是SB上一点,求证：AC与平面SOB不垂直.

证明：假设AC⊥平鍿OB,

∵直线SO在平面SOB内,

∴SO⊥AC.

∵SO⊥底面圆O,∴SO⊥AB.

∴SO⊥平面SAB.

∴平面SAB∥底面圆O.

这显然出现矛盾,∴假设不成立,