2.3 　二维形式的柯西不等式

　　学习目标

1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．

2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．

　　一、自学释疑

　　根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

　　二、合作探究

　　探究1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成＝吗？

　　探究2．用柯西不等式求最值时的关键是什么？

　　名师点拨：

　　1.二维形式的柯西不等式

　　(1)定理1：不等式中等号成立的条件是ad＝bc.这时我们称(a，b)，(c，d)成比例．如果c≠0，d≠0，那么ad＝bc⇔＝，若cd＝0，我们分情况说明：①c＝d＝0，原不等式两边都为0，显然成立；②当c＝0，d≠0时，原不等式化为(a2＋b2)d2≥b2d2，是显然成立的；③当c≠0，d＝0时，道理和②一样，也是成立的．所以当cd＝0时，不等式也成立．

　　(2)由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式：

　　对于任何实数a，b，c，d，以下不等式成立：

　　·≥|ac＋bd|；

　　·≥|ac|＋|bd|.

　　2．对二维柯西不等式的认识

　　二维柯西不等式与中学数学中的代数、几何、三角等各方面都有联系，熟悉这些联系能更本质的把握不等式，并更自觉地应用它．

　　(1)由代数恒等式(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2，把非负数(ad－bc)2舍去，易得不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.

(2)如图，平面内点B(c，d)到直线ax＋by＝0的距离BH不大于线段OB的长，因此有