知识点二　利用空间向量求空间角

　　1．求两条异面直线所成的角

　　设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

l1与l2所成的角θ a与b的夹角a，b 范围 0<θ≤ 0<a，b<π 关系 cos θ＝|cos a，b|＝ cosa，b＝ 　　

　　2.求直线与平面所成的角

　　设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cosa，n|＝.

　　3．求二面角的大小

　　(1)若AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量\s\up6(→(→)与\s\up6(→(→)的夹角．(如图a)

　　(2)设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图b、c)．

　　易误提醒　(1)空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同，如两向量的夹角范围是[0，π]，两异面直线所成的角的范围是.

　　(2)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况．

　　[自测练习]

　　3．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(　　)

　　A．45° B．135°

　　C．45°或135° D．90°

　　解析：cosm，n＝＝＝，即m，n＝45°，其补角为135°.

∴两平面所成二面角为45°或135°.