师：在我们这一节课里，我们一起来讨论几个常见的物理问题，解决这些问题，将要使用到微积分的知识．在这些问题，我们自然很少用到的变量x，而是会使用到不同的字母（代表不同的物理量）作为变量进行研究和计算．

1．变速直线运动的路程

我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即．

简单的说就是路程是速度的积分．

（课本P65）例题3 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示．求汽车在这1min行驶的路程．

师（分析）：我们如果能够知道速度函数，就能应用公式计算．请大家独立思考一下应该如何解决．

生：独立解答后再相互交流．

生：根据O，A，B，C四点坐标，确定OA，AB，BC所在的直线方程，写出分段函数的解析式．

分段函数，分段求定积分．

生（总结）：首先要根据图象写出解析式，然后用变速直线运动的路程公式求出路程．

师：还有其他想法吗？

生：（思考）

生：可以由变速直线运动的路程公式和定积分的几何意义，也就是速度函数图象与x轴的面积即路程，可以直观地得出路程即为图所示的梯形OABC的面积．即

师（点评）：我们从"数形结合"的角度理解定积分的概念并解决问题，这种解法更为简洁．但是一般只适用于容易求出面积的图形． 2．变力作功

师：我们知道一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动s（单位：m），则力F所作的功为．

现在问题拓展：如果这个力F是一个变力，即物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么如何计算变力所作的功呢？

师：我们知道在求变速直线运动的路程，在下图之中

速度曲线与x轴的所为的面积为路程s，如果把下图的变力F类比为上图的速度v，位移x类比为时间t，那么在下图中，

变力作功的问题完全跟变速直线运动相类似，可以用"四部曲 －分割，近似代替，求和，取极限"，解决变力作功的问题．

即

师：变力做功还有一个常见的例子，就是关于弹簧．我们用压缩一个弹簧，弹簧要恢复原长，就要给我们手掌弹力．弹簧压缩越厉害，弹力越大．胡克定律就是说明这样一个事实：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比，即．

师：其中常数是比例系数，称为弹性系数（倔强系数），恒为正值．不同类型的弹簧有不同的值．例如汽车的底盘的避震系统的弹簧有很大的值，我们平时使用的活动圆珠笔的弹簧只有很小的值．

例题4：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置处，求克服弹力所作的功．

解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比，即，其中常数是比例系数．

由变力作功公式，得到

答：克服弹力所作的功为．