计算天体的质量和密度问题的关键是明确中心天体对它的卫星(或行星)的引力就是卫星(或行星)绕中心天体做匀速圆周运动的向心力.由GMm/r^2 =m(4π^2)/T^2 r,解得M=(4π^2 r^3)/(GT^2 );ρ=M/V=M/(4/3 πR^3 )=(3πr^3)/(GT^2 R^3 ),R为中心天体的半径,若为近地卫星,则R=r,有ρ=3π/(GT^2 ).由上式可知,只要用实验方法测出卫星(或行星)做圆周运动的半径r及运行周期T,就可以算出中心天体的质量M.若再知道中心天体的半径,则可算出中心天体的密度.

(2)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R,可得天体质量M=(gR^2)/G,天体密度ρ=M/V=M/(4/3 πR^3 )=3g/4πGR.

例2 [2017·北京卷] 利用引力常量G和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是 (　　)

A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)

B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期

C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离

D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离

变式题1 我国成功地进行了"嫦娥三号"的发射和落月任务,进一步获取月球的相关数据.该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时,经过时间t,卫星的路程为s,卫星与月球中心连线扫过的角度是θ弧度,引力常量为G,月球半径为R,则可推知月球密度的表达式是 (　　)

A.(3t^2 θ)/(4πGs^3 R^3 ) B.(4θπR^3 Gt^2)/(3s^3 )

C.(3s^3)/(4θπGt^2 R^3 ) D.(4πR^3 Gs^3)/(3θt^2 )

变式题2 已知"慧眼"卫星绕地球做匀速圆周运动,其轨道半径为r,运动周期为T,地球半径为R,引力常量为G,则下列说法正确的是 (　　)